Трактат Ктубот 93a · спор о наследстве

Загадка трёх вдов

Человек умер. По брачным контрактам (ктубот) он был должен трём жёнам 100, 200 и 300 монет, всего 600. Денег после него осталось меньше. Как поделить то, что есть, между тремя разными долгами?

Талмуд, свод устной Торы, даёт готовые ответы судей для трёх сумм наследства. Почти две тысячи лет эти три ответа выглядели как три разных правила, не сводимых друг к другу.

Часть I

Условие

Три вердикта Талмуда

При 100 монетах судьи делят всё поровну. При 300 делят пропорционально долгу. При 200 не то и не другое, что-то среднее. Общий принцип за этими тремя ответами не могли найти до 1985 года.

100
наследство · делят поровну
Жена I (иск 100)33⅓
Жена II (иск 200)33⅓
Жена III (иск 300)33⅓
200
наследство · смешанная логика
Жена I (иск 100)50
Жена II (иск 200)75
Жена III (иск 300)75
300
наследство · пропорционально иску
Жена I (иск 100)50
Жена II (иск 200)100
Жена III (иск 300)150

Талмуд, Ктубот 93a. Наследство меньше 100 делится поровну и без всяких затруднений; вопрос был именно в этих трёх «неровных» точках.

Дополнительное условие: спор о талите

Ещё одно решение, из другой истории Талмуда (Бава Меция 1:1). Двое нашли талит и спорят. Первый говорит: вещь целиком моя. Второй: моя половина. Судья рассуждает так. На вторую половину второй сам не претендует, значит, она сразу уходит первому. Остаётся спорная половина, её делят пополам.

Итог: первый получает 75% талита, второй получает 25%.

\[ x_i \;=\; \underbrace{\max(0,\,E-c_j)}_{\text{бесспорная часть}} \;+\; \frac{1}{2}\Big(E-\max(0,E-c_1)-\max(0,E-c_2)\Big) \]

Здесь \(c_1\) и \(c_2\) показывают, сколько требует каждый, \(E\) обозначает стоимость талита, а \(j\) второго участника спора. Первое слагаемое: то, на что никто, кроме \(i\), не претендует. Второе: половина спорного остатка. Правило называется «уступи и подели» (concede-and-divide).

Часть II

Решение

Единая формула для любого наследства

В 1985 году Роберт Ауман и Михаэль Машлер нашли принцип, который связывает обе истории. Он называется согласованность: если вынуть из дележа любых двух вдов и пересчитать их общую сумму по правилу талита, доли должны остаться прежними.

Проверка на числах. По Талмуду при наследстве 200 жёны получают 50, 75 и 75. Возьмём первых двух: вместе у них 125. Третью вдову забудем и поделим эти 125 заново между двумя, по правилу талита, с контрактами 100 и 200.

Жена II с контрактом 200 претендует на все 125. Жена I по своему контракту может просить только 100, значит на оставшиеся 25 не претендует никто, кроме жены II, и эти 25 сразу уходят ей. Спорными остаются 100, их делят пополам, по 50. Итого у жены I выходит 50, у жены II 25 плюс 50, то есть 75. Ровно то, что присудил Талмуд. Так же сходится с любой другой парой и при любом наследстве.

Ауман и Машлер доказали, что дележ с таким свойством существует и он ровно один. Он на графике ниже. Три ответа Талмуда лежат на нём тремя точками. Подвиньте ползунок и посмотрите, кому сколько достаётся при любой сумме.

Жена I · иск 100 Жена II · иск 200 Жена III · иск 300
Там, где суммы совпадают (0–150: все трое, 150–250: II и III), линии слегка разведены по вертикали, иначе они слились бы в одну.
Сколько получает каждая: итоговая выплата
Кому достаётся следующая монета: по ходу дележа
Наследство: 300 монет
Жена I
50
Жена II
100
Жена III
150
Показать точные значения в узлах правила (таблица)
НаследствоЖена IЖена IIЖена III

Как читать нижний график. Первые 150 монет идут всем троим поровну. С 150 до 250 монеты получают только жёны II и III: иск жены I равен 100, свою половину она уже набрала и дальше ждёт. С 250 до 350 всё уходит жене III, у неё самый большой контракт. Потом порядок разворачивается зеркально: снова делят вдвоём (350–450), а после 450 опять на троих поровну, пока каждый долг не закроется. Эта смена очередей и есть принцип, который сводит все три ответа Талмуда в одну кривую.

Точная формула

Обозначения: иски по возрастанию \(c_1\le c_2\le c_3\), весь долг \(C=c_1+c_2+c_3\), половина каждого иска \(d_i=c_i/2\). Правило записывается так:

\[ x_i(E)= \begin{cases} \min(\lambda,\,d_i), & E\le C/2,\quad \text{где }\lambda\text{ решает }\displaystyle\sum_k\min(\lambda,d_k)=E\\[8pt] c_i-\min(\mu,\,d_i), & E> C/2,\quad \text{где }\mu\text{ решает }\displaystyle\sum_k\min(\mu,d_k)=C-E \end{cases} \]

Работает это в две стадии. Пока наследства меньше половины долга, всем поднимают выплату с общего уровня \(\lambda\), но никому не дают больше половины его иска: кто дошёл до своего потолка \(d_i\), стоит на месте, остальные растут дальше. После середины считают уже не выплаты, а нехватку \(C-E\): её делят тем же способом, и каждая получает свой иск минус её часть нехватки. Поэтому вторая половина графика зеркальна первой.

Для наших контрактов 100, 200 и 300 (\(C=600\), \(C/2=300\)) это даёт три явные кусочно-линейные функции:

Жена I (иск 100)
\[ x_1(E)=\begin{cases} E/3, & 0\le E\le150\\[4pt] 50, & 150\le E\le450\\[4pt] E/3-100, & 450\le E\le600 \end{cases} \]
Жена II (иск 200)
\[ x_2(E)=\begin{cases} E/3, & 0\le E\le150\\[4pt] (E-50)/2, & 150\le E\le250\\[4pt] 100, & 250\le E\le350\\[4pt] (E-150)/2, & 350\le E\le450\\[4pt] E/3, & 450\le E\le600 \end{cases} \]
Жена III (иск 300)
\[ x_3(E)=\begin{cases} E/3, & 0\le E\le150\\[4pt] (E-50)/2, & 150\le E\le250\\[4pt] E-150, & 250\le E\le350\\[4pt] (E+50)/2, & 350\le E\le450\\[4pt] E/3+100, & 450\le E\le600 \end{cases} \]

Проверить легко. При любом \(E\) три доли в сумме дают ровно \(E\), наследство расходится без остатка, и ни одна вдова не получает больше, чем записано в её контракте.

R. J. Aumann, M. Maschler. «Game Theoretic Analysis of a Bankruptcy Problem from the Talmud». Journal of Economic Theory, 36(2), 1985.